有计划参加今年的AMC12的学生，从暑假开始就必须开始做备赛规划了。我近期将挑选几道AMC12真题做一些分析和点评，希望能对大家有所启发和思考。 本文是这个系列的第七篇文章。这次的题目与绝对值运算有关： 表达式|x-1|+|2x-1|+···+|11 9x-1|的最小值是多少？ 这道题的题目很短，涉及的数学概念也很简单，就是很多个绝对值的和。
绝对值是在初一就已经学过的概念，关于绝对值的基础习题相信大家也做过不少。其中一类题目是求多个绝对值的和的最小值，例如求 |x-1|+|x-2|的最小值。这个题目的最简单的解决办法是利用三角不等式推出 |x-1|+|x-2|≥|（x-1）+（2-x）|=1.
然而三角不等式并不是解决这类题目的好方法，因为当绝对值的数量较多且表达式较为复杂时，构造适当的三角不等式通常比较困难。
另一种更常用的方法是把包含减法运算的绝对值理解为数轴上两个点的距离。例如，|x-1|就是数轴上坐标分别为x和1的两个点的距离。
我们设想一个动点P在数轴上从左到右移动，P的坐标为x。两个定点A和B的坐标分别为1和2。考虑P到A和B的距离之和的变化。
1. 当P的位置在A左侧时，P到A和B的距离都不断减小。
2. 当P的位置介于A和B之间时，P到A的距离变大，而P到B的距离减小。但P到A的距离增大多少，P到B的距离就减小多少，所以P到A和B的距离之和保持不变，刚好就等于A到B的距离——通过画图很容易直观地验证这个结论。
3. 当P的位置在B右侧时，P到A和B的距离都不断增大。
综上所述，P点在从左到右的移动过程中，P到A和B的距离之和先减小，再保持不变，然后增大。所以最小值是P在A和B之间时取得，即x的值介于1和2之间时取得。
如果绝对值包含的不是减法而是加法运算，我们也可以把加法转换为相应的减法式子。例如，|x+1|+|x-1|表示动点到两个坐标分别为-1和1的定点的距离之和。
如果求和的绝对值多于两个怎么办？例如 |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|.
此时，我们可将绝对值的和分成两部分：|x-1|+|x-4|和|x-2|+|x-3|。第一个和的最小值是3，最小值在x介于1和4之间时取得；第二个和的最小值是1，最小值在x介于2和3之间时取得。所以四个绝对值的和的最小值是3+1=4，最小值在x介于2和3之间时取得。
对多于两个的绝对值进行分组时，必须遵守的原则是“从两端向中间依次组合”，即首先把最左边和最右边的两个定点配对，然后把剩下的点中最左边和最右边的两个定点配对，等等。
如果不遵守这个原则会发生什么情况？例如把上面的四个绝对值之和分成|x-1|+|x-2|和|x-3|+|x-4|。两个和的最小值都是1，但前一个和的最小值在x介于1和2之间时取得，后一个却在x介于3和4之间时取得——所以两个和不可能同时取到最小值！
上面的方法可解决任意多个形如|x-k|的绝对值的和的最小值问题，并且还可以推广到更一般的形式，例如 |x-1|+2|x-2|+3|x-3|.
上面的表达式实际上包含6个形如|x-k|的绝对值，可分为三组：|x-1|+|x-3|, |x-2|+|x-3|, |x-2|+|x-3|。因此表达式的最小值是2+1+1=4，当x介于2和3之间时都可取到最小值。
本文讨论的AMC12真题也是这种形式的表达式，只不过项数多得多，一共有119项。我们把表达式改写为： |x-1|+2|x-1/2|+···+119|x-1/119|.即一共有1+2+…+119=7140个绝对值相加。
把7140个定点从左到右依次列出：119个点坐标为1/119，118个点坐标为1/118，117个点坐标为1/117，……，2个点坐标为1/2，1个点坐标为1。
把这些点每次取最左边和最右边各取一个点配对（已配对的点就抹掉），一共可配成7140÷2=3570对。我们需要确定的关键信息是——最后一对点具体包含哪两个点，因为整个表达式的最小值就是当x的值介于这两个点之间时取得。
我们从右向左依次取点：1个1，2个1/2，3个1/3，4个1/4，……。通过估算和试算可最终得到 1+2+···+84=3570,即从右到左的第3570个点的坐标是1/84，且这3570个点包含了所有84个坐标为1/84的点。
因此，配对得到的第3570对点是1/85和1/84，从而整个表达式（119项之和）的最小值是在x的值介于1/85和1/84之间时取得。
当x的值介于1/85和1/84之间时， |x-1|+|2x-1|+···+|84x-1|=84-3570x.上面的等式之所以成立，首先是因为等号左边的每个绝对值符号内的表达式的值都是负数，所以 |kx-1|=1-kx, k=1,2,…,84.
其次，因为有84项，所以有84个1，而x的系数则是从1到84的84个整数的和，前面已经算过这个和等于3570。
类似地有 |85x-1|+|86x-1|+···+|119x-1|=3570x-35.所以 |x-1|+···+|119x-1|=(84-3570x)+(3570x-35)=49.
纵观整个解答过程，可以分为前后两个部分。前一部分确定使表达式取最小值的x的取值范围，虽然涉及多项求和的具体求值，但基本思想是广为人知的，而且这样的求值过程在小学竞赛题目中也不鲜见。
后一部分则是具体求出最小值的数值，只需根据绝对值符号内的表达式的值的正负性恰当地去掉绝对值符号，然后合并同类项即可，这是实实在在的小学难度。
这道题在AMC12中排在第22题，就难度而言应该是偏简单的。即使出现在16~20题这个档次，也应该是很有机会拿分的题目。由此可见，AMC12的难度排序并不总是那么严谨，我们不应对21~25题轻言放弃——当然，对前20题，特别是16~20题的位置，也要随时警惕出现自己不容易掌控的难题。
最后再啰嗦一句。绝对值的定义虽然很简单，但由于是分段定义，我们没有便捷的手段处理这个问题，只能老老实实地按定义去操作。另一个有类似性质的概念是取整函数，也是竞赛很喜欢考的一个知识点。
由于分段定义的特性，当一个表达式里包含多个绝对值时，处理起来往往比较棘手，本文讨论的这类问题（绝对值之和）只是其中相对简单的情形。如果把绝对值进行多次嵌套，例如像 ||x-1|+||x+2|-3||这样的表达式就更麻烦。
不过，竞赛的目的是锻炼学生的思维，而不是为了难倒学生。难度很大却没有什么思考价值的题目，只是在浪费学生的时间，打击学生的学习热情。这样的题目应该尽快被扫进垃圾堆里。
把多个简单的概念组合成非常复杂的情形，办法是很多的，并不一定要利用像绝对值或取整运算这样的分段定义的特性。比如下面这道题：
定义函数f(x)=log10(sin(πx)·sin(2πx)·sin(3πx)···sin(8πx)).f(x)的定义域与区间[0,1]的交集是n个开区间的并集。请问n的值是多少？
函数f(x)的表达式中包含了8个正弦函数。单独看每个正弦函数，都很容易写出使函数值大于0的集合——当然，大多数集合都是多个区间的并集。但题目要求我们确定的是使这8个函数的乘积大于0的集合，这个难度相对于单个函数而言，就像从地面一下子窜到了3万米高空。
只有真正动手做起来，才会明白这道题放在第24题实在是实至名归！
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