有计划参加今年的AMC12的学生，从暑假开始就必须开始做备赛规划了。我近期将挑选几道AMC12真题做一些分析和点评，希望能对大家有所启发和思考。
代数题在AMC10和AMC12中都是很重要的题目类型，因为中学阶段的主要学习内容就是代数和几何两大分支。多项式又是代数中的入门内容。一方面，多项式的性质相对于代数中其他概念来说是比较简单的；另一方面，在多项式的学习过程中积累的经验和能力有助于学习其他内容。
当然，多项式的性质简单并不意味着相关的题目也一定简单。只要条件设置得当，多项式题目也可以很难。
下面这道题在AMC12中是第23题，可见它不会是容易解决的问题。题目如下：
P(x)和Q(x)都是首项系数为1的二次多项式。已知P(Q(x))的根为x=-23, -21, -17, -15，Q(P(x))的根为x=-59, -57, -51, -49。P(x)和Q(x)的最小值的和是多少？
由于P(x)和Q(x)都是二次多项式，所以P(Q(x))和Q(P(x))都是四次多项式，它们分别有四个根也就很自然了。根据题目条件，我们可以设 P(x)=x2+b1x+c1, Q(x)=x2+b2x+c2,
然后就可以推导出P(Q(x))和Q(P(x))的表达式。事实上，沿着这条路径往下走确实可以解决这个问题。一方面，我们根据上面的待定系数表达式可以写出P(Q(x))的表达式；另一方面，由于P(Q(x))的根为-23, -21, -17, -15，所以
P(Q(x))=(x+23)(x+21)(x+17)(x+15),
从而可以推出b1, c1, b2, c2要满足的一些等式关系。对Q(P(x))重复以上操作又可得到更多的等式关系。从这些等式就可以确定b1, c1, b2, c2的值。
然而，这个解法没有什么“营养”。固然，在解答过程中我们用到了与多项式的根相关的性质，也做了一些表达式的运算，但这些操作的连接非常简单，就像在用力的时候只是用“蛮力”而没有太多的技巧配合。我们当然不能指望解答每一道题都可以做到“四两拨千斤”，但只有把力量和技巧结合得恰到好处才是最佳的策略。
数学的解题练习从来都不是只为了得到正确的答案。如果费了半天劲做完一道题而没有对解答方法中涉及的概念和性质有更多的理解和领悟，做这道题就像“狗熊掰玉米”，掰了很多又丢了很多。
我们应该有这样的意识：解答一道题，是为了（用更多的时间）去体会和反思其中的思想方法。没有解答在前，自然也就无从体会和反思；看别人的解答也是可以的，但效果相差很大。从解答到体会和反思是一个完整的链条，只有把这个链条走完，才能获得最大的能力提升。
现在我们回到题目本身。由于直接写P(Q(x))的表达式比较复杂，我们可以换一个角度，从P(Q(x))的根的意义出发。
如果x的某个值使得P(Q(x))=0，说明Q(x)的值恰好是P(x)的一个根。设P(x)的两个根为h1, h2。则P(Q(x))的四个根中，应该有两个使得 Q(x)-h1=0成立。另外两个使得 Q(x)-h2=0成立。注意到这两个二次方程的一次项系数是一样的（都是b2），根据根与系数的关系，它们的两个根的和是一样的。 不妨设Q(x)-h1=0的两个根是-23和-15，Q(x)-h2=0的两个根是-21和-17。立即可以推出 b2=-(-23-15)=-(-21-17)=38.类似地，如果x的某个值使得Q(P(x))=0，说明P(x)的值恰好是Q(x)的一个根。重复上面的过程，可以得到 b1=-(-59-49)=-(-57-51)=108.接下来求c1, c2的值。把Q(x)-h1=0改写为 c2=h1-x2-b2x=h1-x2-38x.
当x=-15或-23时上面的等式都成立，所以c2=h1+345.
从Q(x)-h2=0出发，又可推出c2=h2+357. 把这两个等式相加，并注意到h1和h2是P(x)的两个根，可得到2c2=(h1+h2)+702=594, 即c2=297. 于是 Q(x)=x2+38x+297=(x+19)2-64.所以Q(x)的最小值是-64。并且 h1=Q(-15)=-48, h2=Q(-17)=-60,即P(x)的两个根分别是-48和-60。因此， P(x)=(x+48)(x+60)=(x+54)2-36.所以P(x)的最小值是-36。
这个方法自始至终只用到二次方程的性质，特别是根与系数的关系。解答过程的主线是把二次方程的性质与复合函数的概念联系起来，比如，如果x的某个值使得P(Q(x))=0，说明Q(x)的值恰好是P(x)的一个根。
还有一些步骤巧妙地利用了条件之间的关联性，比如，由于Q(x)-h1=0和Q(x)-h2=0的一次项系数相等，所以我们可以确定-23和-15是其中一个方程的两个根，-21和-17是另一个方程的两个根。
在解答过程中，使用比较简单的性质，同时充分利用好条件之间的关联性，形成一环扣一环的解答步骤，这才是最好的解题练习。在这个过程中，我们可以感受到数学的力量——揭示不同的性质之间的内在关联性。
最后，我再留一道与多项式有关的真题。题目如下：
多项式y=x6-10x5+29x4-4x3+ax2的图像曲线位于直线y=bx+c上方，且只在三个点处与直线触碰。这三个点中最右边的点的横坐标是多少？
这道题是排在第21题的位置。大家不妨试着解答一下，然后对比这两道题，哪道题的难度更大一些。
给个小提示：这道题同样需要用到多项式的根的性质，但不仅仅是根的最基本的性质，而是更细致的特性。
AMC12备考难点
AMC12竞赛考试是一项相对于课本内容而言有一定区别的考试，它要求考生对所学知识进行灵活应用。相较于普通的课堂教学，AMC10/12竞赛更注重数论、组合和数列等在学校课程中较少涉及的内容。这些主题已经成为了AMC10/12竞赛的必考项目。与此相关的题目的正确率普遍较低，只有不到20%的考生能够正确解答，而完成整个考试的考生比例也只有50%左右。除了涵盖AMC10的内容外，AMC12考试还会涉及更多其他内容，如对数、复数、三角函数、正弦定理、余弦定理和四点共圆等。在准备AMC12竞赛的过程中，考生需要对这些知识点有所理解并能够熟练运用。通过充分了解考试的要求和内容，并进行充分的练习，考生有望在AMC12竞赛中取得好成绩。
AMC12A / B卷有什么不同？
AMC12与AMC10的考察范围有很多重合的地方，以代数、几何、数论、组合四个模块的知识为主，但核心知识层面上多出了对数、三角函数的计算与图像、复数三个知识模块的考察。
所以AMC12备考需要大家至少有完整的10年级数学知识，最好是有11年级的数学知识的，当然其中无需高等数学的相关知识（微积分、矩阵行列式等），如果数学知识有短板欠缺，那么一般建议先考虑补足课内数学知识再进行竞赛训练。
AMC12题目难度分布
AMC12不涉及高难的知识点，但是每道题都要求对知识点的综合应用非常熟练，基本上不会只考察单一的知识点。
比如：排列组合，可能和数列函数搭配在一起考察；方程，可能和整数不等式结合在一起；概率，需要用到平面直角坐标系，甚至立体几何的知识点。
AMC12比AMC10难度加大，最后8道题来说还是比较难的。AMC10中没有很多数论问题和更复杂的三角/对数/复数问题，但在AMC12中，这些就很常见。
AMC12A卷平均难度2.64，AMC12B卷平均难度2.56，AMC12的A卷难度比B卷高出许多。
AMC12A卷简单题少、中等题与难题数量都高于B卷，非常考验学生的实力。
综合来看AMC12B卷考的知识点比较简单，其中23题二进制较难，24题三角函数考的非常经典，25题没有前两道题生僻。
暑假是开始备战AMC12的重要时段。我们也推出了很多amc的课程，有需要的请联系小助手！
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